Po prozkoumání říše prvočísel a nahlédnutí za oponu čtvrtého rozměru nás edice Matematický svět ve svém třetím svazku přivádí do oblasti geometrie, a to ne jen tak ledajaké. Všichni si ze školních škamen vzpomínáme na všechny ty kružnice, čtverce, trojúhelníky, siny, kosiny, rovnoběžky a další geometrické objekty či funkce. Učitelé nám vtloukali do hlavy různé vzorce a pravidla, například že rovnoběžky se nikdy neprotnou, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždycky 180 stupňů nebo že obvod kružnice se rovná 2πr. Je to tak ale skutečně vždy? Kdybychom se pohybovali v geometrii eukleidovské, tak samozřejmě ano. Jak už však název knihy Joana Gómeze Neeukleidovské geometrie docela jasně naznačuje, existuje i jiná geometrie než eukleidovská, a množné číslo napovídá, že jich je dokonce více.

Po první kapitole, která čtenáři ukáže, že realita není pokaždé tak přímá, jak by se mohlo na první pohled zdát, nás autor seznamuje se základy eukleidovské geometrie, respektive se slavnými Eukleidovými Základy, bez nichž by si většina čtenářů patrně zbytek Neeukleidovských geometrií zdaleka tak neužila. (A ti, kteří ano, zde pravděpodobně zase nenajdou nic, co by už dávno nevěděli.) Ve svém díle Eukleides mimo jiné zavedl pět postulátů, tedy výroků, jejichž pravdivost je přijímána bez důkazu. První čtyři byly odjakživa víceméně bezrozporné, avšak pátý, který říká „Nechť dvě úsečky protínají třetí úsečku tak, že součet vnitřních úhlů na jedné straně je menší než dva pravé úhly. Potom lze na této straně prodloužit první dvě úsečky tak, aby se jejich prodloužení protnula“, mnohým geometrům nedával spát, jelikož postrádal očividnost a jednoduchost předešlých čtyř. Mnozí se s ním proto snažili vypořádat, ale „po celá staletí se jej nikomu nedařilo potvrdit ani vyvrátit“. Všichni od Prokla přes Alhazena po Christophera Clavia se při této snaze tak trochu motali v kruhu, a to kruhu ryze eukleidovském.

O zlom, který se postupně rodil už v dílech některých předchozích badatelů, se postaralo trio věhlasných matematiků. Prvními dvěma byli Nikolaj Lobačevskij a János Bolyai, kteří nezávisle na sobě přišli s myšlenkou hyperbolické geometrie. Ta se mimo jiné vyznačuje tím, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku podle ní je menší než ikonických 180° nebo že rovnoběžky se od sebe postupně vzdalují, aniž by se kdy protnuly. Jinou, takzvanou eliptickou geometrii, v níž je součet úhlů v trojúhelníku naopak větší než 180°, posléze představil Bernhard Riemann. Krom popisu obou geometrií či jejich zákonitostí, včetně toho, jak se v nich chovají různé objekty, trigonometrické vzorce nebo třeba Pythagorova věta, se autor rovněž zabývá jejich přínosy a aplikacemi. Zejména s eliptickou geometrií, respektive s jejím zvláštním případem, sférickou geometrií, která umožňuje popis dvourozměrných útvarů na trojrozměrné kouli, se totiž díky jejímu uplatnění v kartografii či navigaci setkáváme vskutku často. Není proto náhoda, že Gómez této problematice věnuje celou kapitolu. V závěrečné části se čtenář seznámí i s některými dalšími méně známými geometriemi, a především s významem geometrie v současné vědě a technice, který se táhne od očividnějších věcí, jako je digitální zpracovávání obrazu (a jeho využití v umělé inteligenci), po méně intuitivní záležitosti, například medicínu v podobě výpočetní tomografie a magnetické rezonance.

Je pravděpodobné, že s některými příklady z neeukleidovských geometrií se čtenář již v různých popularizačních knihách setkal. (Minimálně v souvislosti s Einsteinovou teorií relativity, která z těchto geometrií významně těžila. To koneckonců rozebírá i dodatek Teorie relativity a nové geometrie, který Gómezovu knihu uzavírá.) Nicméně obvykle se jedná o různé kusé zmínky, kupříkladu v proslulém Elegantním vesmíru Briana Greena to je sotva jedna dvoustrana. Neeukleidovské geometrie se tématem zabývají pochopitelně mnohem důkladněji a v rámci možností i typu literatury poskytují vskutku jedinečný a ničím nerušený vhled do dané oblasti. Pro knížku v zásadě platí skoro totéž co pro předchozí svazky Matematického světa. Zejména lze tedy vyzdvihnout důraz na srozumitelnost laickému čtenáři, příjemný rozsah, exkurzy do historie i stručné medailonky v textu zmiňovaných učenců, zkrátka formát knihy jako takové, navíc výborně přeložené. Edice tedy s třetím svazkem ze své kvality rozhodně neslevila a uvidíme, zda to tak zůstane i s tím příštím, jenž by se měl zaobírat asi nejznámější číslem celé matematiky, π.